Le Nurbs, acronimo di Non Uniform Rational B-Spline, sono entità riconducibili a figure, linee e superfici, definite da un particolare algoritmo che rappresenta oggi il più efficace ed avanzato grado evolutivo della modellazione tridimensionale.  La rappresentazione Nurbs ha origine negli anni sessanta grazie agli studi ed alle ricerche del matematico Francese Pierre Bèzier in quegli anni impiegato presso la casa automobilistica Renault e conseguentemente anche dal matematico Paul de Casteljau suo collega ed impiegato presso la Citröen.  In particolare, Bèzier per primo sviluppò a suo tempo delle particolari Curve (chiamate appunto Curve di Bèzier) grazie alle quali, e con poco sforzo, fu possibile ottenere curve analiticamente efficienti e flessibili. Tali entità vengono controllate mediante dei Punti di Controllo.

Le curve di Bézier sono un tipo di curve vettoriali utilizzate per definire forme morbide freeform. Programmi come Adobe Illustrator, Macromedia FreeHand fanno largo uso delle curve di Bézier. Un punto di controllo (un vertice) di una curva di Bézier consiste in un punto e due maniglie; Il punto nel mezzo, è usato per spostare l'intero punto di controllo

In seguito, nel corso degli anni, sulla base degli studi di Bézier e de Casteljau sono state sviluppate le B-Splines e le Nurbs che altro non sono che una generalizzazione degli algormi creati in precedenza. In particolare, le matematica Nurbs nasce dall'esigenza di poter rappresentare correttamente archi di circonferenza e curve coniche cosa che, con le B-Spline tradizionali, non è possibile ottenere.
Rhinoceros è un mero modellatore Nurbs di Superfici a tutti gli effetti che si avvale proprio delle Nurbs per rappresentare al meglio le curve, le superfici ed i solidi. Fatta questa importante ma necessaria introduzione vediamo come viene descritta una curva Nurbs senza naturalmente sconfinare in temi puramente matematici.

Una Curva Nurbs è definita da una equazione parametrica di grado n in funzione di un parametro U che varia nell'intervallo [0,1]. Una Nurbs è determinata dai seguenti quattro parametri: - n numeri di Punti di Controllo denominati anche Poli;

• Il Grado del polinomio che descrive la curva (grado 1,2,3,4,5 ecc)
• Un certo numero di Archi o Spans che compongono la curva;
• Il grado della continuità dei suddetti archi (G0 Posizione, G1 Tangenza, G2 di Curvatura) 

Questi quattro parametri sono tra loro legati dalla seguente relazione np = (gr - con) na + con + 1 dove:

• np è il numero di punti di controllo che compongono la curva Nurbs
• gr è il grado della curva
• con è la continuità tra gli Archi
• na è il numero di archi.

A tutti questi parametri si aggiungono anche il Peso ed i Nodi. Il Peso consente di attrarre localmente, in corrispondenza di un Punto di Controllo, una porzione di curva; per la spiegazione relativa ad i Nodi vi rimandiamo al Box mostrato qui sotto.  Per modificare invece la forma generale di una curva Nurbs è sufficiente spostare anzichè i Nodi, uno o più Punti di Controllo

Il Grado di una Curva Nurbs è un numero che di norma ha un valore pari a 1,2,3,4,5 ecc. Per Default in Rhino le Linee e le Polilinee possiedono un grado pari a 1 (Linerare); I cerchi, curve nurbs Specializzate, hanno invece Grado 2 (Quadratiche). Le Curve Nurbs definite tramite Punti di Controllo oppure Le Curve Nurbs Interpolate presentano di Default Grado 3 (Curva Cubica)

Punti di Controllo

I Punti di controllo che compongono una Curva Nurbs sono una serie di punti in numero pari al Grado della curva stessa + 1. I punti di controllo sono quindi dei punti di riferimento su una curva e vengono utilizzati per modificarne la forma.

Nodi

In una Curva Nurbs i I nodi possono esser aggiunti senza modificare la forma di una curva NURBS mentre, al contrario, la rimozione di nodi cambia inevitabilmente la forma della curva stessa. E’ importante non confondere un Nodo con un Punto di Controllo. Nelle curve di grado 1 Nodi e Punti di Controllo coincidono.

Peso

In corrispondenza di ogni Punto di Controllo vi è associato un Peso; Una curva Nurbs viene denominata non razionale quando tutti i Punti di Controllo della curva presentano il medesimo Peso. in caso contrario la curva Nurbs viene
definita Razionale.

La geometria Nurbs si distingue, rispetto alle B-Spline e/o Curve di Bézier, grazie alla sua proprietà di poter definire esattamente le forme classiche della geometria piana (Linea retta, cerchio ed ellisse). Questo tipo di curve vengono anche chiamate Specializzate. Naturalmente la geometria Nurbs risulta essere vincente nel momento in cui diventa necessario definire geometrie Free Form come un volto umano, una scocca, una carrozzeria, un cofano d'auto ecc. Riassumendo quanto spiegato pocanzi si può dire che le curve specializzate si utilizzano per disegnare Archi, Linee ed Ellissi mentre le "Nurbs vere e proprie" sono indicate nel momento in cui si devono definire elementi come Splines, Coniche, Eliche ecc. Il Grado di una curva Nurbs è legato al numero dei punti di controllo che compongono la curva stessa. I punti di controllo sono sempre in numero maggiore rispetto al grado della curva. Una curva di Grado 1 contiene almeno due punti di controllo mentre una curva di Grado 3 deve avere almeno 4 Punti di Controllo. Maggiore è il Grado della curva Nurbs, più grande sarà il controllo che su essa vi si potrà esercitare.

Come è stato scritto in precedenza una curva Nurbs è costituita da varie porzioni di curva contigue chiamati Archi o Spans. Questi archi, tra loro, si collegano secondo diverse soluzioni di continuità: se il parametro che regola questa continuità è 0, le curve sono semplicemente "agganciate" e presentano, nel punto di saldatura, due distinte tangenti (una Polilinea di tipo spezzata, ha continuità G0 di posizione). Nel caso in cui il parametro che regola la continuità tra le due curve sia 1 gli archi, nel punto di saldatura ammettono la medesima tangente. Infine, se il parametro è 2 la continuità tra i due archi ammette, sempre nel punto di saldatura delle due curve, la medesima tangente e la medesima curvatura. Geometricamente, il valore della curvatura corrisponde al reciproco del raggio quindi, se il raggio è costante, anche la curvatura rimarrà costante.

Se il raggio di un cerchio misura 5 cm la curvatura sarà 1/5, ovvero 0,2 mm. Al contrario, se la curvatura di un arco di cerchio è 0.2 il raggio sarà pari a : 1/0.2 = 5

Superfici Nurbs

La geometria tradizionale classificava le superfici in diverse categorie, come le superfici di Rivoluzione, Rigate ecc. Una superficie di Rivoluzione è generata estrudendo, attorno ad un'asse, il profilo di una curva mentre una superficie Rigata è prodotta estrudendo una linea retta su uno o piu Binari. Tuttavia questo tipo di geometria non si prestava a descrivere correttamente le superfici complesse. Le superfici Nurbs vengono incontro a queste esigenze e possono considerarsi un'estensione delle Curve Nurbs. Ogni superficie Nurbs, in modo analogo alle Curve, ha una sua rappresentazione parametrica, descritta in funzione di due parametri u e v che variano entrambi nell'intervallo [0,1]. Il luogo geometrico dei punti di una superficie Nurbs che hanno eguale parametro U o eguale parametro V è una curva denominata Isoparametrica. I concetti relativi alle curve Nurbs possono essere estesi e quindi applicati anche ad una superficie Nurbs quindi, proprio in modo analogo alle curve una superficie Nurbs presenta:

• Archi e punti di giunzione
• Grado
• Continuità

Ancora, analogamente a quanto visto per le curve, con l'aumentare del grado aumenta anche la malleabilità della superficie.
Le curve, come abbiamo visto sono controllate da n Punti di Controllo; in modo simile, le superfici sono anch'esse controllate n Punti di Controllo. Ogni porzione di superficie controllata da un insieme di poli viene chiamata Patch.